Ce n’était qu’une introduction à la géométrie mais 10 ans plus tard, j’en garde toujours un merveilleux souvenir.

Des « quatrièmes » que je ne connaissais que depuis un mois, durant lequel nous avions travaillé sur les nombres.

Un mois, ce n’est pas beaucoup mais ça suffit pour commencer à savoir travailler ensemble,
à trouver naturel pour ces élèves de n’avoir devant eux,
durant la trentaine de minutes réservée au cours stricto sensu, qu’un bloc et un stylo sur leur table.

À trouver également naturel de dialoguer entre eux et avec moi, avec toutefois une règle absolue :
ne jamais couper la parole à qui que ce soit (et tout de même, je ne vais pas mentir, m’accorder une certaine priorité).

Une classe de 30 élèves, tous actifs, mais pour éviter un foisonnement de prénoms à la Tolstoï
je vais très arbitrairement attribuer les dialogues de cette reconstitution à cinq d’entre eux…

et ne garder parmi les très nombreuses interventions que les plus significatives,
que ce soit pour la progression ou pour l’ambiance.
. . .

  
Sans points pas de géométrie…  Mais un point, qu’est-ce que c’est ?

Vous avez déjà regardé les étoiles bien sûr. Vous savez, ces points brillants dans un vide tout noir.

Sauf que justement, ce ne sont pas des points
 (et le vide tout noir n’est ni vraiment vide ni vraiment noir… mais ça, c’est une autre histoire) :

d’abord parce qu’il vous suffit d’embarquer dans n’importe quel vaisseau spatial et d’aller voir une étoile d’un peu plus près
pour vous rendre compte que c’est bien trop gros pour être un point.

Et puis aussi parce qu’un point, c’est un endroit et un endroit, ça ne brille pas.

Mais c’est vrai que les étoiles, vues de loin – de très loin, de plus loin que loin – on dirait des points…
enfin, si les points brillaient !
. . .

  
Le point, toujours le point. Oui, j'ai un côté monomaniaque !

Mais cette fois-ci, il est au cœur du premier chapitre d'une histoire écrite pour ma fille
lorsqu'elle était en cinquième, il y a une vingtaine d'années.

Soyez indulgent(e)s !
. . .

  
Ma toute première histoire sur le point,en 1993 ! Elle est idiote mais je l’adore.
(Ensuite promis, je passe à autre chose ! Mais le point méritait bien trois articles, non ?)
. . .

  
Bon, clairement, écrire sur la ligne... ça en prend plus d'une !

Maintenant que nous savons ce qu’est un objet ponctuel – et ce qu’est un point – nous allons pouvoir passer
à la question suivante :

qu’est-ce qu’une ligne ?

(Nooooon, ce n’est pas un trait, pas plus qu’un point n’est une tache !)
. . .

  
Pourquoi me suis-je tellement attardé sur l’objet ponctuel, le point, la ligne ?

Parce que ce sont les éléments de base de la géométrie, bien sûr…
mais tout particulièrement parce que ce sont les « parents » de la droite.

Et sans droite, la géométrie euclidienne n’irait pas bien loin !

Comment dites-vous ? La droite, c’est facile, c’est une ligne qui va tout droit ?

Soupir : d’abord une ligne c’est un endroit, ça ne va nulle part…
et ensuite un objet qui « va tout droit », qu’est-ce que ça veut dire ?

Dans notre univers physique, à part les photons,
il n’y a pas beaucoup d’objets qui vont toujours tout droit
(et même les photons peuvent dévier) !
. . .

  
Incontournable, le plan ?

Oui, parce qu’il est l’un des trois éléments de base de la géométrie d’Euclide
(et 22 siècles plus tard de Hilbert) : le point, la droite, le plan !

Ce que j’ai écrit pour la droite, c’est tout aussi vrai pour lui : sans lui, la géométrie euclidienne n’irait pas bien loin !
(Sans le point non plus, bien sûr mais ça, si après tous les épisodes précédents vous n’en êtes pas persuadé(e)s, j’abandonne !)

Mais le plan est incontournable pour une autre raison également… j’y reviendrai bientôt. 

Bon, si nous commencions par le commencement ?
Pour inventer le plan, nous allons avoir besoin des droites (ça, c’était l’épisode /3)… et des surfaces.

Je ne vous ai encore rien raconté sur les surfaces et je n’ai pas trop envie d’y consacrer tout un épisode
alors vous voulez bien qu’on se contente d’un paragraphe 0 dans cet épisode-ci ? C’est parti !

– Eh, pourquoi vous nous demandez notre avis si vous n’attendez même pas notre réponse ? Mais oui d’accord, nous voulons bien !

– Merci… et vous avez raison, j’aurais dû l’attendre ! Je veux toujours aller trop vite !
. . .

  
J’ai entendu vos soupirs et vos murmures :

– vous nous… euh, fatiguez avec votre géométrie, vos points, vos points, vos points !
On veut des vraies maths, des maths avec des nombres partout !

Bon, d’accord, on va s’attaquer aux nombres. À tous les nombres, des entiers aux complexes.
Et aux structures numériques qui vont avec.

Évidemment, ça va prendre un peu de temps et quelques articles. Mais qui est pressé ?

Les nombres, nous allons les débusquer ensemble, les amener petit à petit à la lumière
alors que tout ce qu’ils souhaitent, eux, c’est qu’on les laisse tranquilles, chacun dans son point.

– Dans son quoi ? Vous voulez dire « dans son coin » ?
. . .

  
Oui, encore une histoire !

(Avez-vous remarqué que les logos des histoires sont sur fond « or »
et que ces histoires sont associées à l’article qu’elles illustrent
par l’ajout d’une lettre – a, b… – au numéro de l’article ?)

J’avais déjà créé un lien vers cette histoire dans mon article sur « les harpes de Thalès »,

évidemment à propos de l’écriture des nombres entiers… mais il m’a semblé qu’elle
avait encore davantage sa place ici, avec le statut « les maths comme je les aime » !

Elle n’a naturellement d’intérêt qu’en complément de l’article 4 !

Pour la (toute petite) histoire Hi-Ati est la première histoire que j’ai « vendue », en... 1980
(et non, elle ne m’a pas rendu millionnaire !)
. . .

  
Non, bien entendu, ça ne s'est PAS passé comme ça !

"Hi-Ati , ou la création des dizaines"

est la seconde histoire que j'ai composée sur le modèle des " Histoires comme ça " de Kipling…
mais sans son talent !

Ce ne sont que des histoires
mais elles m’ont très longtemps permis d’introduire la numération.

Soyez indulgent(e)s !
. . .

  
Vous vous rappelez le robot-arpenteur de l’épisode précédent (/4 Et si les nombres n’étaient que des noms ? ) ?

Le lointain cousin de l’allumeur de réverbères du Petit Prince qui, comme lui, allume sans se poser de questions,
parce que c’est la consigne.

Sauf que lui, bien sûr, il n’allume et n’éteint pas constamment le même réverbère (jour, nuit… jour, nuit…),
il passe son éternité à allumer des points différents d’une même droite.

Des points que j’ai appelés « points-entiers ».

Ah non, ne commencez pas à chicaner, nous savons très bien, vous et moi, qu’on ne peut pas allumer un point.
Parce qu’un point, ce n’est qu’un endroit : l’arpenteur, « allume » un point en lui introduisant un objet ponctuel brillant.

(Je suis peut-être un peu grognon ces temps-ci, ça doit être l’âge… alors excusez-moi si je m’énerve à tort :
peut-être n’avez-vous vraiment pas lu l’épisode 5. En ce cas, s’il vous plaît, lisez-le : cet épisode en est la suite !)
. . .

  
Maintenant que j’ai débusqué les « points rationnels » (et leurs alter ego, les nombres rationnels)
d’une graduation géométrique de d, j’ai deux progressions possibles :

ou bien creuser encore d à la recherche de points qui seraient encore éteints
(non, ne riez pas, vous vous rappelez : nous allons faire comme si… !)

Ou bien au contraire prendre un peu d’altitude, décider qu’un point de d est un point de d,
que je l’aie allumé ou pas, et « inventer » des mécanismes de comparaison puis d’opérations
entre ces points (et remettre à plus tard la recherche d’éventuels points éteints de d).

Des mécanismes qui s'appliqueront à tous les points de d :
si plus tard de nouveaux points se… pointent, ils s’y plieront comme les autres.

[Pourquoi « inventer » entre guillemets ? Parce que j’ai toujours dans ma tête
cette idée que les points de d  (et donc les nombres qu’ils traînent avec eux)
ont une vie bien à eux, avec des codes et des lois qui ne dépendent que d’eux :
je ne fais que les observer en voyeur.  

C’est même la légende de l’illustration de couverture de mon livre
« mathématiques du cycle 4, tome 1 : nombres et calculs) :

la vie des nombres, en toute indiscrétion.

(et si je ne précise pas que cette magnifique illustration
est l’œuvre de ma fille Lauréline elle va m’en vouloir !)

J’ai décidé de privilégier la deuxième progression.
(Comme tout choix personnel, celui-ci se discute. Peut-être le ferai-je dans un épisode  /6a ?)

Donc au menu d’aujourd’hui : comment comparer deux points de d
. . .

  
Vous pouvez même multiplier les points entre eux… mais ça, ce sera pour le prochain épisode 😊

Bon, après avoir défini les nombres comme de simples attributs des points,

puis une relation d’ordre entre nombres
comme la simple transcription numérique d’une relation d’ordre entre points...

n’est-il pas raisonnable de mettre en place une addition entre points
puis de lui associer un alter ego numérique : l’addition telle que vous la connaissez ?

 Vous allez voir, ça va vraiment se faire tout seul !
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Multiplier des points ???

Oui, mais pas n’importe lesquels :

nous travaillons toujours sur les points de la droite d que j’ai définie dans les épisodes précédents
(cette droite passe par deux points distincts A et B que j’ai allumés dans un espace tout noir.
J’ai appelé le point A « point origine d’une graduation géométrique de d », et le point B « point unité » de cette graduation).

Bon, cette multiplication entre points va peut-être vraisemblablement vous dérouter.…
mais vous le verrez, elle est très sérieuse.

Là je vous la présente, et ensuite on en discute, d’accord ?

– Oui, d’accord (de toute façon on n’a pas le choix, c’est vous qui écrivez !),
mais c’est pas très rassurant : déjà que votre addition entre points était un peu… bizarre ?

Je sais, je sais. Mais rappelez-vous, vous aviez fini par reconnaître qu’elle tenait la route. On commence ?
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